Ł Старые понятные учебники советских времен по физике, математике. Акупунктура, похудение

ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

Примечание. Из 𝑛 элементов можно составить только одно сочетание, содержащее все 𝑛 элементов, поэтому . Формула для дает это значение только в том случае, если принять 0! за 1. В качестве определения принимается, что .

Принято также считать, что .

Пример. Найти число диагоналей выпуклого десятиугольника.

Решение. Вершины десятиугольника образуют совокупность 10 точек плоскости, из которых любые три не лежат на одной прямой. Соединяя всякую пару этих точек отрезком прямой, получаем

отрезков, 10 из которых являются сторонами многоугольника, а другие 35 - его диагоналями.

4. Свойства сочетаний а) Число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑘 элементов равно числу сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑛 - 𝑘 элементов, т.е.

Это соотношение позволяет упростить нахождение числа сочетаний из 𝑛 элементов по k, когда 𝑘 превосходит

Пример.

б) Число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑘 элементов равно числу сочетаний из 𝑛 - 1 элементов по 𝑘 элементов, прибавленному к числу сочетаний из 𝑛 - 1 элементов по 𝑘 - 1 элементов, т.е.

Приведем еще несколько соотношений между выражениями для чисел различного вида сочетаний (такие соотношения называют также комбинаторными тождествами):

5. Размещения. Возьмем какое-либо множество 𝑀, состоящее из 𝑛 элементов.

Всякое упорядоченное подмножество, содержащее 𝑘 элементов данного множества 𝑛 элементов, называется размещением из 𝑛 элементов по 𝑘 (элементов).

Таким образом, два разных размещения из данных 𝑛 элементов по 𝑘 отличаются друг от друга или составом элементов, входящих в них, или порядком из размещения.

Пример. Из трех цифр 1, 2, 3 можно образовать такие размещения по два:

1, 2; 2, 1; 1, 3; 3, 1; 2, 3; 3, 2.

Число размещений из 𝑛 элементов по 𝑘 обозначается символом (Arrangement (франц.) - размещения).

Число всевозможных размещений из л элементов по 𝑘 равно произведению 𝑘 последовательных целых чисел, из которых наибольшее есть 𝑛, т.е.

или

Пример. В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами могут быть распределены уроки в день?

Решение. Всевозможные распределения уроков в день представляют собой, очевидно, всевозможные размещения из 10 элементе по 5; поэтому всех способов распределения должно быть:

В перестановках, сочетаниях и размещениях, которые мы выше рассмотрели, элементы, входящие в них, не повторяются, и поэтому их называют соответственно перестановками, комбинациями, размещениями без повторений.

В математике рассматривают также перестановки, сочетания и размещения с повторениями. Этот материал с достаточной полнотой изложен в книге: С.И. Новоселов, Специальный курс элементарной алгебры, изд. "Советская наука", 1951, стр. 495-502.

50. Решение примеров и задач на соединения

Пример 1. Упростить выражение .

Решение.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. . Следовательно,

(𝑖 + 1)(𝑥 + 2) = 110 или 𝑖² + 3𝑖 - 98 = 0, 𝑖 ₁ = -12, 𝑖 ₂ = 9.

Отрицательное значение 𝑥 отбрасываем.

Ответ. 𝑥 = 9.

Пример 3. Решить систему уравнений:

Решение.

откуда

𝑛 - 2 = 3, 𝑛 = 5, 𝑛 = 5.

Ответ. 𝑛 = 5, 𝑖 = 5.

Задача 1. Число перестановок из 𝑛 букв относится к числу перестановок из 𝑛 + 2 букв, как 0,1 к 3. Найти 𝑛. Решение. По условию

или

откуда

(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) = 30.

Корни этого уравнения 𝑛 ₁ = 4, 𝑛 ₂ = -7.

Второй корень не годится.

Ответ. 𝑛 = 4.

Задача 2. Число сочетаний из я элементов по 3 в 5 раз меньше числа сочетаний из 𝑛 + 2 элементов по 4. Найти 𝑛.

Решение. По условию

или

откуда

Ответ. 𝑛₁ = 14, 𝑛₂ = 3.

Задача 3. Сколькими возможными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе 3 человек?

Решение. Так как делегации 𝑎, 𝑏, 𝑐 и 𝑏, 𝑎, 𝑐 одинаковы, то искомое число является числом сочетаний из 15 по 3, т.е. оно равно :

Задача 4. Сколькими разными способами собрание, состоящее из 40 человек, может избрать из своего числа председателя собрания, его заместителя и секретаря?

Решение. Избрать определенные три человека из 40 человек можно так:

𝑎 - председатель, 𝑎 - секретарь,

𝑏 - секретарь, 𝑏 - председатель,

𝑐 - зам. председателя; 𝑐 - зам. председателя и т.д.

Следовательно, количество разных способов будет :

Задача 5. На плоскости расположено 10 точек так, что из них никакие три, за исключением одной тройки точек, не лежат на одной прямой. Сколько разных прямых можно провести через эти точки?

Решение. Если бы три точки не лежали на одной прямой, то всего можно было бы провести прямых. Если при этом одна точка перемещается так, что будет на одной прямой с двумя другими точками, то из трех разных прямых получим одну. Итак, всего прямых можно провести .

Задача 6. Сколько возможных способов для образования дозора из трех солдат и одного офицера, если есть 80 солдат и 3 офицера?

Решение. При одном офицере и 80 солдатах можно образовать дозор способами. При трех офицерах число способов будет в три раза больше, т.е. .

Задача 7. Сколько возможных способов распределения 6 разных предметов между тремя лицами, так чтобы каждое из них получило 2 предмета?

Решение. Одно лицо может получить два предмета из шести способами.

Пусть лица 𝑎, 𝐵, 𝑐 получили при одном способе распределения по два предмета так:

𝑎 - 𝑎𝑏, 𝑏 - 𝑑𝑒, 𝑐 - 𝑒𝑓.

Поменяв местами собственников этих предметов, получим 𝑝 ₃ способов распределения, то соответствует одной комбинации из 6 элементов по 2. Итак, всего способов распределения будет .

Задача 8. Сколько может быть случаев выбора двух карандашей и трех ручек из 5 разных карандашей и 5 разных ручек?

Решение. Из пяти разных карандашей два карандаша можно выбрать способами; из пяти разных ручек три ручки можно выбрать способами. Одному выбору двух карандашей из пяти соответствует способов выбора ручек. Итак, всего способов выбора двух карандашей и трех ручек будет:

Задача 9. Среди сочетаний из 10 букв 𝑎, 𝑏, 𝑐, ... по 4 сколько таких, что не содержат букву 𝑎 ?, буквы 𝑎 и 𝑏 ?

Решение. Чтобы вычислить количество сочетаний из 10 букв 𝑎, 𝑏, 𝑐, ... по 4, которые не содержат буквы 𝑎, надо подсчитать число сочетаний из 9 букв 𝑏, 𝑐, ... по 4; их будет . Тогда число сочетаний из 10 по 4, не содержащих букв 𝑎 и 𝑏, будет .

Задача 10. Сколько различных натуральных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, если в каждое число входит каждая из данных цифр не более одного раза?

Решение. Различными однозначными числами, исключая нуль, будут . Если бы среди данных цифр не было нуля, то число различных двузначных чисел было бы равно . Но так как среди них есть нуль, то в числе размещений из этих пяти цифр по две есть однозначные числа, это те, которые начинаются с нуля. Число их равно . Значит, различных двузначных чисел получится . Аналогично найдем, что число различных трех-, четырех- и пятизначных чисел будет соответственно . Всего получится 4 + 16 + 48 + 96 + 96 = 260 чисел.

Задача 11. В шахматном турнире двое из участников выбыли, сыграв по три партии каждый, и потому на турнире было сыграно всего 84 партии. Сколько было участников первоначально?

Решение. Пусть искомое число участников турнира было 𝑥. Полностью сыграли друг с другом по партии лишь 𝑥 - 2 участников (двое выбыли) и число этих партий, очевидно, равно числу .

Это число партии вместе с шестью сыгранными двумя выбывшими участниками составило 84 партии. Отсюда получаем уравнение . Решаем его: 𝑖² - 5𝑥 - 150 = 0, 𝑖 = 15 (отрицательный корень отбрасываем).

Ответ. 15.

Примечание. В решении предполагается, что выбывшие игроки друг с другом не играли. Это действительно так, потому что уравнение не имеет решений.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ