Ł Старые понятные учебники советских времен по физике, математике. Акупунктура, похудение

ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

1. Произведение биномов, отличающихся только вторыми членами. Выражение 𝑥 + 𝑎, как и вообще всякий двучлен, называется биномом. Обыкновенным умножением находим:

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑖² + (𝑎 + 𝑏) 𝑥 + 𝑎𝑏,

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)(𝑥 + 𝑐) = 𝑖³ + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 𝑖² + (𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐) 𝑥 + 𝑎𝑏𝑐,

(𝑖 + 𝑎)(𝑖 + 𝑏)(𝑖 + 𝑐)(𝑖 + 𝑑) = 𝑖 ⁴ + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑) 𝑖³ +

+ (𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑒 + 𝑑𝑒) 𝑖² + (𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑒 + 𝑎𝑐𝑒 + 𝑏𝑐𝑒) 𝑖 + 𝑎𝑏𝑐𝑒.

Эти произведения представляют собой многочлены, расположенные по убывающим степеням 𝑥. Все они составлены по одному и тому же закону: показатель первого члена равен числу перемножаемых биномов, показатели при 𝑥 в следующих членах убывают на 1; последний член не содержит 𝑥 (т.е. содержит его в нулевой степени).

Коэффициент первого члена есть 1; коэффициент второго члена есть сумма всех вторых членов перемножаемых биномов; коэффициент третьего члена есть сумма всех произведений вторых членов, взятых по два; коэффициент четвертого члена есть сумма всех произведений вторых членов, взятых по три, и т.д. Последний член есть произведение всех вторых членов.

Эта закономерность применима к произведению какого угодно числа биномов, т.е. верна формула

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)(𝑥 + 𝑐)... (𝑖 + 𝑘) = 𝑖^𝑚 + 𝑆 ₁ 𝑖^{𝑚 -1} + 𝑆 ₂ 𝑖^{𝑚 -2} +... + 𝑆_𝑚,

где

𝑆 ₁ = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 +... + 𝑘,

𝑆 ₂ = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 +... + ik,

𝑆 ₃ = 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑑 +...

...

𝑆_𝑚 = 𝑎𝑏𝑐... ik.

Пример. Найти произведения биномов:

(𝑥 - 1)(𝑥 + 2)(𝑥 - 3)(𝑖 + 4).

Решение.

𝑆 ₁ = (-1) + 2 + (-3) + 4 = 2;

𝑆 ₂ = (-1) · 2 + (-1) · (-3) + (-1) · 4 + 2(-3) + 2 · 4 + (-3) · 4 = -7;

𝑆 ₃ = (-1) · 2 · (-3) + (-1) · 2 · 4 + (-1) · (-3) · 4 + 2 · (-3) · 4 = -14;

𝑆 ₄ = (-1) · 2 · (-3) · 4 = 24.

Итак,

(𝑖 - 1)(𝑖 + 2)(𝑥 - 3)(𝑥 + 4) = 𝑥⁴ + 2𝑖³ - 13𝑖² - 14𝑖 + 24.

2. Формула бинома Ньютона. Если в приведенной выше формуле все вторые члены биномов одинаковы, т.е. 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = ... = 𝑘, тогда левая часть будет степень бинома (𝑥 + 𝑎)^𝑚, a 𝑆 ₁ 𝑆 ₂, ..., 𝑆_𝑚 будут соответственно равны .

Таким образом, мы получаем

Эта формула называется формулой бинома Ньютона. Ее можно записать и так:

Примечание. Формулы квадрата суммы и куба суммы есть частные случаи этой общей формулы.

Пример.

3. Биномиальные коэффициенты и их свойства. Коэффициентом первого члена разложения бинома есть 1 (или ), второго - , третьего - и т.д. Коэффициент последнего, (𝑚 + 1)-го члена равен . Эти коэффициенты называются биномиальными. Общий член разложения имеет вид:

Из этой формулы можно получить все члены (кроме первого), подставляя вместо 𝑛 числа: 1, 2, 3, ..., 𝑚.

Биномиальные коэффициенты имеют следующие свойства:

1) Коэффициенты членов, одинаково удаленных от концов разложения, равны между собой, т.е.

2) Для получения коэффициента следующего члена достаточно умножить коэффициент предыдущего члена на показатель буквы 𝑖 в этом члене и разделить на число членов, предшествующих определяемому, т.е.

3) Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2^𝑚, т.е.

4) Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, т.е.

4. Примеры и задачи на бином Ньютона.

Задача 1. В разложении коэффициент пятого члена относится к коэффициенту третьего члена, как 7 : 2. Найти тот член этого разложения, который содержит 𝑥 в первой степени.

Решение. Биномиальный коэффициент пятого члена равен , коэффициент третьего члена равен . Тогда, по условию,

отсюда 𝑛 = 9.

Пусть теперь номер члена, содержащего 𝑥 в первой степени, равен 𝑘 + 1. Тогда

По условию, показатель степени 𝑥 должен быть равен 1. Значит, , отсюда 𝑘 = 3.

Итак, член, содержащий 𝑥 в первой степени, есть четвертым членом разложения и равен .

Задача 2. В разложении биномиальный коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго. Найти свободный член.

Решение. Коэффициент третьего члена будет , а коэффициент второго - . По условию . Решая уравнение , получаем 𝑛 = 11 (отрицательное значение отбрасываем). Находим свободный член:

Чтобы 𝑖 был в нулевой степени, нужно чтобы , т.е. 𝑘 = 3. Итак, свободный член равен .

Задача 3. Найти все рациональные члены разложения , не выписывая члены иррациональные.

Решение. Напишем общий член разложения данного бинома:

Рациональными члены будут тогда, когда будет целым числом. Выясним, при каких 𝑛 это выражение будет целым.

Чтобы для 𝑛 получались целые значения, нужно придавать значения 𝑚, кратные пяти, но при этом такие, чтобы число 𝑛 не выходило из интервала 0 и 20. Такие значения для 𝑚 будут: -10; -5; 0; 5, а соответствующие числа для 𝑛 : 20, 14, 8, 2. Искомые члены будут:

Задача 4. Дано многочлен

𝑖 (2 - 3𝑥)⁵ + 𝑖³(1 + 2𝑖²)⁷ - 𝑥⁴(3 + 2𝑥³)⁹.

Найти коэффициент члена, содержащего 𝑥⁵, если выполнить указанные действия.

Решение. В разложении 𝑥 (2 - 3𝑥)⁵ член, содержащий 𝑥⁵, равен 𝑥𝑇₄₊₁, где - пятый член разложения бинома (2 - 3𝑥)⁵:

В разложении 𝑥³(1 + 2𝑥²)⁷ член, содержащий 𝑥⁵, равен 𝑖³ 𝑡₁₊₁, где 𝑡₁₊₁ - второй член разложения бинома (1 + 2𝑥²)⁷:

Разложение 𝑥⁴(1 + 2𝑥³)⁹ не содержит 𝑥⁵.

Итак, коэффициент члена (данного многочлена), содержащего 𝑥⁵, равен 824.

Задача 5. Многочлен 𝑥 ⁴ - 3𝑖³ + 𝑖² + 1 разложить по убывающим степеням 𝑥 + 1.

Решение. Заменив 𝑥 на (𝑥 + 1) -1, получим

𝑥 ⁴ - 3𝑖³ + 𝑖² + 1 = [(𝑥 + 1) - 1]⁴ - 3[(𝑥 + 1) - 1]³ + [(𝑥 + 1) - 1]² + 1.

Если теперь раскрыть по формуле бинома Ньютона выражение [(𝑥 + 1) - 1]^𝑘, где 𝑘 = 2, 3, 4, рассматривая 𝑥 + 1 как один член, то после приведения подобных членов получим (𝑥 + 1)⁴ - 7(𝑥 + 1)³ + 16(𝑥 + 1)² - 15(𝑥 + 1) + 6.

Задача 6. Сколько рациональных членов содержится в разложении

Решение. Имеем:

Так как для рациональности члена показатели и должны быть целыми числами, то число 𝑛 должно быть кратно 3 и 2, т.е. кратно 6. Но 0 ≤ 𝑛 ≤ 100 и числа 𝑛, кратные шести, будут 0, 6, 12, ..., 96. Подсчитаем число 𝑚 их, получим: 96 = 0 + 6(𝑚 - 1), 6(𝑚 - 1) = 96, 𝑚 - 1 = 16, 𝑚 = 17.

5. Историческая справка о биноме Ньютона. Разложение выражения (𝑎 + 𝑏)ⁿ в ряд для целых значений 𝑛 было известно грекам лишь для случая 𝑛 = 2. Обобщение для любого целого 𝑛 было сделано среднеазиатскими математиками Омаром Хайямом и ал-Каши. Ал-Каши пользуется биномом для приближенного вычисления корня любой степени из целого числа; с этой целью он составил таблицу биномиальных коэффициентов.

Эта таблица носит название треугольника Паскаля. В Западной Европе она впервые была опубликована в руководствах по арифметике Апиануса в 1527 г. и Штифеля в 1544 г. В 1556 г. Тарталья также опубликовал таблицу биномиальных коэффициентов, причем объявил ее своим изобретением. В 1631 г. исследованием таблицы занимался Аутред, изобретатель логарифмической линейки; несколько позже, в 1654 г., была опубликована работа Паскаля.

В 1676 г. формулу бинома распространил на отрицательные и дробные показатели И. Ньютон, хотя не дал ее доказательства. Последнее было дано Маклореном для рациональных значений π, Эйлером в 1774 г. для дробных показателей. Наконец, в 1825 г. великий норвежский математик Нильс Гендрик Абель (1802-1829) доказал теорему бинома для любого комплексного числа 𝑛.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ