Я создала и активно наполняю телеграм-канал "Перець". Здесь лучшие карикатуры из журнала, начиная с 1922 года.
Заходите, подписывайтесь: https://t.me/cartalana

ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ

15. Степени с отрицательными, нулевыми и дробными показателями

1. Предварительные замечания. Раньше мы рассматривали степени только с натуральными показателями. Возведение в 𝑛-ю степень понимали как повторение некоторого числа сомножителем 𝑛 раз. С этой точки зрения выражения представляются бессмысленными, ведь нельзя число взять сомножителем минус два раза, 0,3 раза, 0 раз. Однако в математике рассматривают и такие выражения, т.е. степени с любыми рациональными и даже иррациональными показателями.

Какой же смысл вкладывают в эти понятия?

2. Степени с отрицательным и нулевым показателями. Под степенью какого-либо отличного от нуля числа с отрицательным показателем понимают дробь, числитель которой равен единице, а знаменатель - степень того же числа с положительным показателем, противоположным данному отрицательному, т.е. если 𝑎 ≠ 0, то

Примеры.

Действия над степенями с отрицательными показателями можно выполнять по тем же правилам, что и действия над степенями с положительными показателями. Равенства

𝑎^𝑚 · 𝑎^𝑛 = 𝑎^{𝑚 + 𝑛}; (𝑎^𝑚)^𝑛 = 𝑎^𝑚𝑛; 𝑎^𝑚 : 𝑎^𝑛 = 𝑎^{𝑚- 𝑛}

верны не только при положительных 𝑚 и 𝑛, но и при отрицательных. Последнее из этих равенств теперь уже верно не только при 𝑚 > 𝑛, но и при 𝑚 < 𝑛. Чтобы это равенство было справедливо при любых 𝑚 и 𝑛, даже при 𝑚 = 𝑛, вводят понятие о степени с нулевым показателем.

Под степенью любого отличного от нуля числа с нулевым показателем понимают единицу, т.е. если 𝑎 ≠ 0, то 𝑎⁰ = 1.

Примеры. .

Примечание. Выражение 0⁰ неопределенно.

3. Степени с дробными показателями. Под степенью какого-либо числа 𝑎 с дробным показателем понимают корень , т.е.

Примеры.

Примечание. Формулу в элементарной математике обычно рассматривают только при 𝑎 ≥ 0, так как при отрицательных значениях 𝑎 выражение , а следовательно, и может не иметь значения (в множестве действительных чисел).

Дробные показатели могут быть не только положительные, но и отрицательные, т.е. любыми рациональными числами.

Действия над степенями с любыми рациональными показателями выполняют по тем же правилам, что и действия над степенями с натуральными показателями. Для любых рациональных 𝑢 и 𝑣 и действительного 𝑎 > 0 верны равенства:

𝑎^𝑢 · 𝑎^𝑣 = 𝑎^𝑢+𝑣,

𝑎^𝑢 : 𝑎^𝑣 = 𝑎^𝑢-𝑣,

(𝑎^𝑢)^𝑣 = 𝑎^𝑢𝑣.

4. Преобразования выражений, содержащих степени с рациональными показателями. Ниже показаны некоторые наиболее часто встречающиеся виды преобразований алгебраических выражений, содержащих степени с различными рациональными показателями.

Пример 1. Вычислить значения следующих выражений:

Решение.

Пример 2. Преобразовать следующие выражения так, чтобы они не содержали отрицательных показателей степеней:

Решение.

Пример 3. Выполнить действия:

Решение.

Пример 4. Заменить выражениями с дробными показателями следующие радикалы:

Решение.

Пример 5. Заменить выражения с дробными показателями радикалами:

Решение.

Пример 6. Упростить выражения:

Решение.

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

16. Общие сведения об уравнениях

1. Определение уравнения. Два числа или какие-нибудь выражения, соединенные знаком равенства (=), образуют равенство. В математике равенства употребляются в двух случаях: когда утверждают, что данные числа или выражения при таких-то значениях букв равны, и когда ставят вопрос, при каких значениях букв, входящих в выражения, эти выражения равны. В первом случае равенство называют тождествами, а во втором - уравнениями. Например, когда утверждают "при любом а действительном 𝑎 + 1 = 1 + 𝑎 ", здесь равенство есть тождество; когда же ставят вопрос "при каком значении 𝑥 + 3 = 10?", здесь имеем уравнение.

Уравнением называют равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами. Эти буквы, обозначающие неизвестные числа в уравнении, называются неизвестными. Неизвестных в уравнении может быть несколько. Например, в уравнении

2𝑥 + 𝑦 = 7𝑥 - 3

два неизвестных: 𝑥 и 𝑦.

Выражения, стоящие в уравнении слева и справа от знака равенства, называют соответственно левой и правой частями уравнения. Так, в приведенном выше уравнении 2𝑥 + 𝑦 - левая часть, а 7𝑥 - 3 - правая.

2. Виды уравнений. Различают уравнения с одним, двумя, тремя и т. д. неизвестными в зависимости от того, сколько неизвестных оно содержит. Например,

3𝑥 - 5 = 10 - уравнение с одним неизвестным 𝑥.

𝑥² + 𝑦 = 50𝑥 - уравнение с двумя неизвестными 𝑥 и 𝑦;

- уравнение с тремя неизвестными 𝑥, 𝑦 и 𝑧.

В уравнении могут быть буквы, не являющиеся неизвестными (параметры). Например, уравнение 𝑎𝑥 + 3 = 𝑐 имеет одно неизвестное 𝑥, а параметры 𝑎 и 𝑐 можно считать произвольными известными числами. Такие уравнения называют буквенными. Уравнения, которые, кроме неизвестных, не содержат никаких букв, называются числовыми. Числовыми есть, например, следующие уравнения:

2𝑖 + 3 = 7, 𝑥^𝑦 = 𝑦^𝑥.

По характеру операций, выполняемых над неизвестными, уравнения делятся на алгебраические, дробные, иррациональные и трансцендентные.

Обозначим левую и правую части уравнения буквами 𝑎 и 𝐵. Тогда уравнение 𝑎 = 𝐵 называется:

1) алгебраическим, если 𝑎 и 𝐵 - многочлены;

2) дробным (рациональным), если 𝑎 и 𝐵 - рациональные выражения, причем хотя бы одно дробное;

3) иррациональным, если 𝑎 и 𝐵 - алгебраические выражения, причем хотя бы одно из них иррациональное;

4) трансцендентным, если хотя бы одно из выражений 𝑎 и 𝐵 содержит трансцендентные (Трансцендентными называют неалгебраические операции, например возведение в степень с иррациональным показателем, логарифмирование, вычисление значений тригонометрических функций и т.п.) операции над неизвестными.

Уравнения

- алгебраические;

- дробные;

- иррациональные;

- трансцендентные.

Алгебраические уравнения бывают первой, второй, третьей и т.д. степени в зависимости от степеней многочленов 𝑎 и 𝐵. Например,

3𝑥 - 2(𝑥 - 5) + 1 - уравнение первой степени;

0,5𝑥² - 3,2𝑥 = 0 - уравнение второй степени;

7𝑥𝑦 + 𝑥 - 𝑦 = 5 - тоже уравнение второй степени,

так как сумма показателей при неизвестных в первом члене 7𝑥𝑦 равна 2.

Алгебраическое уравнение первой степени называют также линейным уравнением, а уравнения второй и выше степеней называют нелинейными.

3. Решения уравнений. Если в уравнение с одним неизвестным вместо неизвестного подставить какое-нибудь число, выраженное цифрами или буквами, и в результате получится, что левая часть тождественно равна правой, то говорят, что данное число (значение неизвестного) удовлетворяет уравнению. В противном случае говорят, что оно не удовлетворяет уравнению. Значение неизвестного, удовлетворяющее уравнению, называется решением, или корнем, уравнения.

Например, если в уравнение 3𝑖 + 7 = 13 вместо неизвестного 𝑥 подставить число 2, получим тождество 3 · 2 + 7 = 13. Следовательно, значение 𝑥 = 2 удовлетворяет данному уравнению, число 2 есть решение или корень этого уравнения. А значение 𝑥 = 3 не удовлетворяет этому уравнению, так как 3 · 3 + 7 ≠ 13.

Еще пример. Уравнение 2𝑥 + 𝑐 = 3 с неизвестным 𝑥 имеет решение 𝑥 = 0,5(3 - 𝑐), так как 0,5(3 - 𝑐) · 2 + 𝑐 = 3 - тождество.

Решением уравнения с несколькими неизвестными называют систему значений всех неизвестных, удовлетворяющих данному уравнению. Пусть, например, имеем уравнение с двумя неизвестными

𝑥² + 2𝑦 = 7.

Пара значений 𝑥 = 1, 𝑦 = 3 удовлетворяет этому уравнению, так как 1² 2 · 3 = 7. Эта пара чисел считается одним решением данного уравнения (В таких случаях слово "корень" не употребляют). Существуют и другие решения этого уравнения, например 𝑥 = -1, 𝑦 = 3; 𝑥 = 3, 𝑦 = -1 и т.д.

Уравнение может не иметь совсем решений, может иметь единственное решение, несколько решений и бесконечное множество решений.

Примеры.

Уравнение 𝑖 + 8 = 𝑖 + 5 нe имеет решений, так как при любых действительных значениях 𝑥 левая часть больше правой;

уравнение 3𝑥 + 2 = 11 имеет единственный корень 𝑥 = 3; уравнение имеет два корня: 3 и 4 (так как );

уравнение 5(𝑥 - 3) + 2 = 3(𝑥 - 4) + 2𝑥 - 1 удовлетворяется при любом значении 𝑥, т.е. является тождеством. Приведенное выше уравнение 𝑥 ²' + 2𝑦 = 7 также имеет бесконечное множество решений, но не является тождеством.

4. Равносильные уравнения. Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если все решения первого уравнения являются решениями второго и, наоборот, все решения второго уравнения являются решениями первого. К равносильным уравнениям относятся также уравнения, не имеющие решений.

Примеры.

Уравнения 2𝑥 - 5 = 11 и 7𝑥 + 6 = 62 равносильны, так как они имеют один и тот же корень 𝑥 = 8.

уравнения 𝑖² + 𝑦 + 1 = 8 - 𝑦 и 𝑥² + 2𝑦 = 7 равносильны, так как каждое решение первого удовлетворяет второе и любое решение второго удовлетворяет первое уравнение;

уравнения 𝑖 + 2 = 𝑖 + 5 и 2𝑖 + 7 = 2𝑖 равносильны, потому что оба не имеют решений;

уравнения 𝑖 + 2 = 2(𝑖 + 1) - 𝑖 и 3𝑥 = 3(𝑥 - 1) + 3 равносильны, поскольку любое значение 𝑖 удовлетворяет и первое и второе уравнения.

Примечание. Согласно приведенному выше определению, уравнения

𝑥² - 14𝑖 + 49 = 0 и 𝑖 - 7 = 0

равносильны, так как каждый корень одного уравнения удовлетворяет также другое уравнение, и наоборот. Однако многие авторы считают их неравносильными, так как они имеют разное число корней: считают, что уравнение второй степени 𝑥² - 14𝑖 + 49 = 0 имеет два одинаковых корня 𝑥₁ = 7; 𝑥₂ = 7, а уравнение первой степени 𝑥 - 7 = 0 имеет только один корень: 𝑥₁ = 7.

Понятие об эквивалентности уравнений является относительным: два уравнения, рассматриваемые в одной области чисел, могут быть эквивалентными, в другой же области - неэквивалентными. Например,

(𝑥 - 2)(𝑥² + 1) = 0,

(𝑥 - 2)(𝑖² + 4) = 0.

В области действительных чисел данные уравнения эквивалентны, в области комплексных чисел - неэквивалентны.

Два уравнения, равносильные третьему, равносильны между собой.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ