Я создала и активно наполняю телеграм-канал "Перець". Здесь лучшие карикатуры из журнала, начиная с 1922 года.
Заходите, подписывайтесь: https://t.me/cartalana
ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965
5. Теоремы о равносильных уравнениях.
Теорема 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и тоже число или многочлен, то новое уравнение будет равносильно данному.
Так уравнение 2𝑥 - 1 = 7 имеет корень 𝑥 = 4; прибавив к обеим частям по 5, получим уравнение 2𝑥 + 4 = 12, которое имеет тот же корень 𝑥 = 4.
Следствия из первой теоремы:
а) Если в обеих частях уравнения имеются одинаковые члены, то их можно опустить.
Так, уравнение 9𝑥 + 5𝑖 = 18 + 5𝑖 имеет один корень 𝑥 = 2, опустив в обеих частях 5𝑖, получим уравнение 9𝑥 = 18, которое имеет тот же корень 𝑥 = 2.
б) Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, переменив его знак на противоположный.
Так, уравнение 7𝑖 - 11 = 3 имеет один корень 𝑥 = 2, перенеся 11 в правую часть с противоположным знаком, получим уравнение 7𝑖 = 3 + 11, которое имеет то же решение 𝑥 = 2.
Теорема 2. Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, не равное нулю, то новое уравнение будет равносильно данному (Верны также более общие теоремы).
Пример. Уравнение 2𝑖 - 15 = 10 - 3𝑥 имеет корень 𝑖 = 5, Умножив обе части на 3, получим
(2𝑖 - 15) · 3 = (10 - 3𝑥) · 3, или 6𝑖 - 45 = 30 - 9𝑥,
которое имеет тот же корень 𝑥 = 5.
Деление на какое-либо число, отличное от нуля, можно рассматривать как умножение на число, ему обратное. Поэтому обе части уравнения можно также и разделить на одно и то же число, отличное от нуля.
Пример. Уравнение 12𝑖² - 3 = 6𝑖 + 33 имеет два корня: 𝑥1 = 2 и 𝑥2 = -1,5.
Разделив все его члены на 3, получим уравнение 4𝑖² - 1 = 2𝑖 + 11, равносильное данному, так как оно имеет те же два корня: 𝑥1 = 2 и 𝑥2 = -1,5.
Следствия из второй теоремы:
а) Знаки всех членов уравнения можно изменить на противоположные (это равносильно умножению обеих частей уравнения на -1).
Пример. Уравнение -3𝑖 + 7 = -8 после умножения обеих частей на -1 примет вид: 3𝑖 - 7 = 8. Первое и второе уравнения имеют единственный корень 𝑥 = 5.
б) Уравнение, в котором коэффициенты всех или некоторых членов дробные числа, можно заменить равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами (для этого обе части уравнения надо умножить на наименьшее общее кратное знаменателей дробных коэффициентов).
Пример. Уравнение 
после умножения обеих его частей на 14 принимает вид:
Легко убедиться в том, что первое и последнее уравнения удовлетворяются только при 𝑥 = 10.
Теорема 1. К обеим частям уравнения можно прибавить любое выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному
Теорема 2. Обе части уравнения можно умножить на любое выражение, имеющее смысл и отличное от нуля при всех допустимых значениях неизвестного, полученное уравнение будет равносильно данному
в) Уравнение можно сократить (разделить все его члены на одно и то же число).
Пример. Уравнение 75𝑖² - 200𝑖 = 900 + 60𝑖² - 50𝑖 можно сократить на 5. Тогда получим уравнение 15𝑖² - 40𝑖 = 180 + 12𝑖² - 10𝑖, равносильное данному.
Примечание. Иногда приходится умножать обе части уравнения на какое-нибудь выражение, содержащее неизвестное. В результате этого может получиться уравнение, не равносильное данному.
Примеры. Пусть дано уравнение 2𝑖 - 1 = 5, имеющее один корень х = 3. Если умножить обе части этого уравнения на 𝑥 - 2, получим новое уравнение (2𝑖 - 1)(𝑥 - 2) = 5(𝑖 - 2), не равносильное данному, так как, кроме корня 𝑥 = 3, оно имеет еще один 𝑥 = 2, который данное уравнение не удовлетворяет. Если бы обе части данного уравнения умножили на 
, то получили бы уравнение 
, которое вообще не имеет корней и, следовательно, тоже не равносильное данному.
Рассмотренные теоремы (их называют также свойства уравнений) и следствия из них дают возможность сравнительно легко решать многие уравнения. Ведь, преобразуя уравнение согласно упомянутым свойствам и следствиям, мы каждый раз получаем новое, более простое, уравнение, равносильное данному. Таким способом можно прийти к очень простому уравнению, корни которого определить нетрудно. А так как полученное уравнение равносильно данному, то и корни его есть не что иное как корни данного уравнения.
Дальше рассмотрим, как решать различные виды уравнений.
1. Определение. Уравнением первой степени с одним неизвестным называют каждое уравнение, в одной части которого есть многочлены первой степени относительно одного неизвестного, а во второй - тоже многочлен первой степени относительно этого же неизвестного или какое-нибудь число.
Примеры. 
Каждое уравнение первой степени с одним неизвестным 𝑥 можно привести к виду
𝑎𝑥 = 𝑏.
Разделив обе части этого уравнения на 𝑎 (если 𝑎 ≠ 0), получим единственное решение: 
.
Если 𝑎 = 0, то уравнение не имеет решений (при 𝑏 ≠ 0) или имеет их бесконечно много (при 𝑏 = 0).
2. Общая схема решения уравнений первой степени. Пусть надо решить такое уравнение:
Решение.
а) Умножим все члены на наименьшее общее кратное знаменателей, которое равно 12. Произведя сокращения, получаем:
4(𝑖 - 4) + 6(𝑖 + 1) - 12 = 30(𝑖 - 3) + 24𝑖 - 2(11𝑥 + 43).
б) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестное и свободные члены, раскроем скобки:
4𝑖 - 16 + 6𝑖 + 6 - 12 = 30𝑖 - 90 + 24𝑖 - 22𝑖 - 86.
в) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой - свободные члены:
4𝑖 + 6𝑖 - 30𝑖 - 24𝑖 + 22𝑖 = -90 - 86 + 16 - 6 + 12.
г) Приведем подобные члены:
-22𝑖 = -154.
д) Разделим обе части на -22. Получим:
𝑥 = 7.
Как видим, корень полученного уравнения, а значит и данного, равен 𝑖 = 7.
Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме:
а) привести уравнение к целому виду;
б) раскрыть скобки;
в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены - в другой;
г) привести подобные члены;
д) решить уравнение вида 𝑎𝑥 = 𝑏, которое получили после приведения подобных членов.
Однако эта схема не может быть обязательной для всякого уравнения. Во-первых, при решении многих, более простых, уравнений приходится начинать не с первого, а со второго, третьего и даже сразу с пятого этапа. Во-вторых, при решении некоторые промежуточные этапы могут оказаться ненужными. В-третьих, иногда бывает выгоднее нарушить порядок, указываемый схемой, так как уравнение тогда решается проще и короче.
Аналогично можно решать и уравнения первой степени с одним неизвестным с буквенными коэффициентами.
Примеры:
3. Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе. К уравнениям первой степени приводятся многие дробные уравнения с одним неизвестным. Чтобы решить такое уравнение, часто приходится умножать обе части на выражение, содержащее неизвестное, а это может привести к нарушению эквивалентности уравнений. Поэтому при решении этих уравнений надо все полученные корни проверять подстановкой в начальное уравнение. Корни, не удовлетворяющие начальному уравнению, надо отбросить как посторонние.
Примеры.
а) Решить уравнение 
Решение. Разлагая 𝑥² + 𝑥 - 2 на множители, получаем: 𝑥² + 𝑥 - 2 = (𝑖 - 1)(𝑥 + 2). Следовательно, 𝑥² + 𝑥 - 2 - общий знаменатель дробей. Тогда дополнительными множителями будут соответственно 𝑖 + 2, 𝑥 - 1,1.
Для упрощения уравнения надо обе части его умножить на (𝑥 - 1)(𝑥 + 2); получим:
2(𝑖 + 2) + 5(𝑖 - 1) = 13;
2𝑥 + 4 + 5𝑖 - 5 = 13;
7𝑖 = 13 - 4 + 5;
7𝑖 = 14; 𝑥 = 2.
Проверка. 
𝑖 = 2 удовлетворяет данному уравнению.
Ответ. 𝑥 = 2.
б) Решить уравнение 
(1)
Решение. Общий знаменатель 𝑥² + 𝑥 - 2; дополнительные множители: 𝑖 + 2, 𝑥 - 1, 1.
(2)
Умножаем обе части уравнения на (𝑥 - 1)(𝑖 + 2), получаем
2(𝑖 + 2) + 5(𝑖 - 1) = 6;
2𝑖 + 4 + 5𝑖 - 5 = 6; (3)
7𝑥 = 7; 𝑥 = 1.
Уравнение (3) имеет корень 𝑖 = 1. Но он является посторонним для данного уравнения, так как 1 не может быть допустимым значением для 𝑥 : при 𝑥 = 1 знаменатель первой и третьей дроби уравнения (1) обращается в нуль. Эквивалентность нарушилась при переходе от уравнения (2) к уравнению (3).
Ответ. Данное уравнение не имеет решений.
в) Решить уравнение 
.
Решение. Приводим к общему знаменателю
Умножаем обе части уравнения на (𝑖 + 5)(𝑖 + 3), получаем: (𝑥 - 2)(𝑥 + 5) = 2(𝑖 - 2)(𝑖 + 3).
Делим обе части уравнения на 𝑥 - 2,
𝑖 + 5 = 2(𝑖 + 3); 𝑖 + 5 = 2𝑖 + 6;
-1 = 𝑥; 𝑖 = -1.
Легко убедиться, что 𝑥 = -1 удовлетворяет данному уравнению. Однако при делении уравнения (𝑥 - 2)(𝑖 + 5) = 2(𝑖 - 2)(𝑥 + 3) на 𝑥 - 2 мы потеряли корень 𝑥 = 2. Чтобы не было потери корня, уравнение надо решать так:
(𝑥 - 2)(𝑖 + 5) - 2(𝑥 - 2)(𝑖 + 3) = 0;
(𝑥 - 2)[(𝑥 + 5) - 2(𝑥 + 3)] = 0;
(𝑥 - 2)(𝑥 + 5 - 2𝑥 - 6) = 0; (𝑖 - 2)(- 𝑥 - 1) = 0.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Тогда полученное уравнение распадется на два: 𝑥 - 2 = 0 и - 𝑥 - 1 = 0. Отсюда имеем: 𝑥1 = 2, 𝑖2 = -1.
Ответ. 𝑥1 = 2, 𝑖2 = -1.
⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨
МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ