Ł Старые понятные учебники советских времен по физике, математике. Акупунктура, похудение

ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

25. Приближенные вычисления с помощью правил подсчета цифр

1. Предварительные замечания. Различают приближенные вычисления со строгим учетом погрешностей и без строгого учета. В менее ответственных вычислениях с приближенными числами пользуются вторым способом, основанным на так называемых правилах подсчета цифр.

В этих правилах используются понятия десятичных знаков, значащих цифр, точных и сомнительных цифр. Напомним, что десятичными знаками числа называют все его цифры, стоящие правее запятой. Например, числа 3,5 и 3,05 имеют соответственно один и два десятичных знака.

Значащими цифрами числа называются все его цифры, начиная с первой слева отличной от нуля, кроме нулей, стоящих в конце записи числа на месте отброшенных при округлении цифр (как уже отмечалось, эти нули обычно подчеркивают или пишут меньшими).

Примеры. В числе 3,5 - две значащих цифры, в числе 0,0307 - три значащих цифры. В числе 35000, полученном в результате округления до тысяч, две значащих цифры.

Если граница абсолютной погрешности приближенного числа равна половине единицы разряда последней его цифры, то все цифры этого числа называют точными. Если же эта граница больше половины единицы разряда последней цифры числа, то последняя цифра такого числа называется сомнительной.

Примеры. В числе 2,06 (±0,005) цифры 2, 0 точные, а 6 - сомнительная. В числе 2,06 (±0,01) цифры 2 и 0 точные, а 6 - сомнительная. В числе 35000, полученном в результате округления до тысяч, цифры 3 и 5 точные, а все три нуля - сомнительные.

Правила подсчета цифр тесно связаны с принципом А.Н. Крылова (1863-1945): Приближенное число следует писать так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верны и лишь последняя цифра была бы сомнительна и при том не более как на одну единицу. Например, если приближенное число записано так: 𝑥 ≈ 3,52, то это значит, что оно дано с точностью до сотых, т.е. 𝑥 ≈ 3,52(±0,01). Если же известно, что 𝑥 ≈ 3,72 (±0,02), то, согласно принципу А.Н. Крылова, его надо писать так: 𝑥 ≈ 3,7.

Вычисления с приближенными числами, записанными таким способом, выполняют как и над точными числами, но, придерживаясь таких правил.

2. Правила подсчета цифр.

I. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков.

Пример. Найти сумму приближенных чисел 127; 42; 67; 3; 0,12 и 3,03.

Решение.

Пример. Найти разность чисел: 418,7 - 39,832

Решение.

II. При умножении и делении приближенных чисел в произведении надо сохранить столько значащих цифр, сколько их есть е данном числе с наименьшим количеством значащих цифр.

Пример. Умножить приближенные числа 3,4 и 12,32.

Решение.

Задача. Площадь прямоугольной грядки приближенно равна 7,6 кв. м, ширина -2,38 м. Чему равна ее длина?

Решение. Длина грядки равна частному от деления 7,6 на 2,38.

Действие деления выполняют так:

Последнюю цифру частного 9 можно было и не писать, а, получив в частном две значащие цифры, заметив, что остаток больший половины делителя, округлить частное с избытком.

III. При возведении приближенных чисел в квадрат, и куб в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в основании.

Примеры.

2,3² = 5,29 ≈ 5,3;

0,8³ = 0,512 ≈ 0,5.

IV. В промежуточных результатах следует брать одной цифрой больше, чем рекомендуют предыдущие правила.

V. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при действиях первой ступени) или больше значащих цифр (при действиях II и III ступеней), чем другие, то их предварительно следует округлить, сохраняя лишь одну запасную цифру.

VI. Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с 𝑘 цифрами данные следует брать с таким числом цифр, которое дает согласно правилам I - IV 𝑘 + 1 цифру в результате.

3. Применение правил. Применение вычислений способом подсчета цифр рассмотрим на примере.

Пример. Найти значение , если 𝑎 ≈ 9,31, 𝑏 ≈ 3,1, 𝑐 ≈ 2,33.

Решение.

𝑎 - 𝑏 = 9,31 - 3,1 = 6,21;

(𝑎 - 𝑏) 𝑐 = 6,21 · 2,33 ≈ 14,5;

𝑎 + 𝑏 = 9,31 + 3,1 = 12,4;

𝑥 = 14,5 : 12,4 ≈ 1,2.

Ответ. 𝑥 ≈ 1,2.

Примечание. Сформулированные выше правила подсчета цифр имеют вероятностный смысл: они наиболее вероятны, хотя существуют примеры, не удовлетворяющие этим правилам. Поэтому вычисления способом подсчета цифр - самый грубый способ оценки погрешности результатов действий. Однако он очень прост и удобен, а точность таких вычислений вполне достаточна для большинства технических расчетов. Поэтому этот способ широко распространен в вычислительной практике.

В более ответственных вычислениях пользуются способом границ или способом граничных погрешностей.

26. Приближенные вычисления по способу границ

Наилучшим в смысле строгости из известных способов приближенных вычислений является способ границ. Пользуясь этим способом, по известным нижним и верхним границам данных чисел, находят отдельно нижнюю и верхнюю границы результата.

Пусть, например, надо сложить два числа:

𝑥 ≈ 3,2(±0,05) и 𝑦 ≈ 7,9(±0,05).

Имеем: 3,15 < 𝑥 < 3,25, 7,85 < 𝑦 < 7,95, откуда 11,00 < 𝑥 + 𝑦 < 11,20.

Итак, 𝑥 + 𝑦 ≈ 11,1(±0,1).

Вообще, нижняя граница суммы приближенных чисел равна сумме нижних границ слагаемых, а верхняя - сумме верхних границ слагаемых. Символически это можно записать так:

НГ(𝑖 + 𝑦) = НГ𝑥 + HГ𝑦; ВГ(𝑥 + 𝑦) = ВГ𝑥 + ВГ𝑦.

Аналогичные правила справедливы для умножения:

НГ(𝑥𝑦) = НГ𝑥 · НГ𝑦; ВГ(𝑥 𝑦) = ВГ𝑥 · ВГ𝑦.

Для обратных действий - вычитания и деления - соответствующие правила имеют такой вид:

НГ(𝑥 - 𝑦) = НГ𝑥 - ВГ𝑦; ВГ(𝑥 - 𝑦) = ВГ𝑥 - НГ𝑦.