Ł Старые понятные учебники советских времен по физике, математике. Акупунктура, похудение

ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

3. Теоремы о равносильности систем уравнений первой степени.

Теорема 1. Любое из уравнений системы можно заменить равносильным ему уравнением; полученная в результате этого система будет равносильная данной. Например, если в системе

заменить второе уравнение равносильным ему уравнением 9𝑖 + 6𝑦 = 57, получим новую систему

равносильную данной.

Теорема 2. Любое из уравнений системы можно заменить уравнением, полученным в результате алгебраического сложения обоих уравнений системы. Новая система будет равносильна данной.

Например, если первое уравнение в приведенной выше системе заменить таким образом, получим новую систему

которая будет равносильна данной.

Теорема 3. Можно из одного уравнения системы выразить какое-нибудь неизвестное через другое и подставить это выражение во второе уравнение. Новое уравнение вместе с первым образует систему, равносильную данной.

Пусть, например, дано систему

Выразим из второго уравнения неизвестное 𝑥 через 𝑦

𝑥 = 2𝑦 + 1

и подставим это выражение в первое уравнение; получим

2(2𝑦 + 1) + 3𝑦 = 33.

Если к этому уравнению с одним неизвестным присоединить второе уравнение системы, получим новую систему

равносильную данной.

На приведенных выше теоремах основаны различные способы решений систем уравнений. Ниже рассмотрим важнейшие из этих способов.

4. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения. Если коэффициенты при каком-нибудь неизвестном в обоих уравнениях равны по абсолютной величине, то, складывая оба уравнения (или вычитая одно из другого), можно получить уравнение с одним неизвестным. Решая это уравнение, определяют одно неизвестное, а, подставляя его в одно из уравнений системы, находят второе неизвестное.

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. Здесь коэффициенты при у по абсолютному значению равны между собой, но противоположны по знаку. Для получения уравнения с одним неизвестным уравнения системы почленно складываем:

Полученное значение 𝑥 = 4 подставляем в какое-нибудь уравнение системы (например, в первое) и находим значение 𝑦 :

2 · 4 + 𝑦 = 11,

𝑦 = 11 - 8,

𝑦 = 3.

Следовательно, система имеет решение: 𝑥 = 4, 𝑦 = 3.

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Здесь коэффициенты при х равны между собой. Для получения уравнения с одним неизвестным уравнения системы почленно вычитают:

Полученное значение подставляем в одно из уравнений, системы (например, во второе) и находим значение 𝑥 :

Система уравнений имеет решение:

Если коэффициенты при неизвестных в уравнениях системы разные по абсолютной величине, то в этом случае уравнивают абсолютные величины коэффициентов при одном из неизвестных, а затем поступают так же, как и в первом случае.

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение. Уравняем коэффициенты при 𝑥. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на -2 и сложим полученные уравнения. Решение можно записать так:

Ответ.

Аналогично можно решать и системы уравнений с буквенными коэффициентами.

Пример. Решить систему уравнений

Решение.

(Если бы в условии не было отмечено, что 𝑎 + 𝑏 ≠ 0, тогда следовало бы этот случай рассматривать отдельно. При 𝑎 + 𝑏 = 0 полученное уравнение удовлетворяет любому значению 𝑥. В этом случае система имела бы бесчисленное множество решений: 𝑥 - любое число, 𝑦 = 2𝑎 - 𝑥)

Ответ. 𝑥 = 𝑎 + 𝑏, 𝑦 = 𝑎 - 𝑏.

5. Решение систем способом подстановки. Если из одного уравнения системы какое-либо из неизвестных выразить через второе и подставить это выражение во второе уравнение, то получим уравнение с одним неизвестным. Из этого уравнения можно найти значение одного неизвестного, а из выражения, которое получили, - второго.

Пример. Решить систему уравнений

Решение. Из первого уравнения находим

Подставив это значение во второе уравнение, получим уравнение с одним неизвестным - 𝑦:

4(11 + 2𝑦) - 15𝑦 = 9,

44 + 8𝑦 - 15𝑦 = 9; -7𝑦 = -35; 𝑦 = 5.

Подставив 𝑦 = 5 в выражение для 𝑥, получим:

Система имеет решение: 𝑥 = 7, 𝑦 = 5.

Некоторым видоизменением этого способа является способ сравнивания неизвестных. Чтобы решить систему этим способом, надо в каждом уравнении одно и то же неизвестное выразить через второе. Полученные таким образом разные выражения для этого неизвестного сравнивают одно с другим и получают уравнение с одним неизвестным. Решив это уравнение, находят значен ние одного неизвестного, затем второго.

Пример. Решить систему уравнений

Решение. Из двух уравнений выражаем 𝑥 через 𝑦 :

Сравнивая эти выражения, получаем уравнение с одним неизвестным 𝑦 :

Решаем это уравнение:

7(13 - 6𝑦) = -5(1 + 18𝑦);

91 - 42𝑦 = -5 - 90𝑦;

48𝑦 = -96; 𝑦 = -2.

Неизвестное 𝑥 найдем, подставив значение 𝑦 в одно из выражений для 𝑥:

Таким образом, система имеет решение 𝑥 = 5, 𝑦 = -2.

6. Способ замены. К системам двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно приводить многие нелинейные системы. Это можно делать способом замены.

Пусть, например, надо решить систему

Решение. Заменим неизвестные, положив ; получим линейную систему:

которая имеет решение: 𝑢 = 2, 𝑣 = 3. Из соотношений находим .

Ответ. .

7. Решение системы при помощи определителей.

Решения системы вида

можно находить по формулам

Эти формулы легко запомнить, если ввести следующие обозначения. Условимся выражение 𝑝𝑠 - 𝑟𝑞 обозначать так: . Это выражение называют определителем, или детерминантом второго порядка. Итак,

Пример.

С помощью определителей решение системы

можно представить в удобном для запоминания виде:

Знаменатель здесь общий. Его называют определителем системы и обозначают знаком

Если определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение: значение неизвестного равно дроби, знаменатель которой является определителем системы, а числитель - определителем, получающимся из определителя системы заменой коэффициентов при этом неизвестном свободными членами (правило Крамера).

Пример. Решить систему

Решение. Составляем определитель системы:

Применяем правило Крамера (так как Δ ≠ 0):

8. Исследование системы уравнений. Исследуем, сколько решений может иметь система уравнений:

Введем следующие обозначения:

Возможны следующие случаи:

а) Δ ≠ 0. Система в этом случае имеет единственное решение.

б) Δ = 0 и по крайней мере один из определителей Δ¹ и Δ² отличен от нуля. Система не имеет решений.

в) Δ = Δ¹ = Δ² = 0 и по крайней мере один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. Система в этом случае имеет бесконечное множество решений.

Примеры последних двух случаев дают системы уравнений

г) Все коэффициенты при неизвестных равны нулю. Если хотя бы один из свободных членов 𝑐¹ и 𝑐² отличен от нуля, то система не имеет решений. Если 𝑐¹ = 𝑐² = 0, то система удовлетворяется тождественно произвольными значениями 𝑥 и 𝑦.

20. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными

1. Уравнение первой степени с тремя неизвестными. Уравнение первой степени с тремя неизвестными 𝑥, 𝑦, 𝑧 в нормальном виде записывают так:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑍.

Примеры. 10𝑖 + 10𝑦 + 8𝑧 = 164; 2𝑖 - 3𝑦 + 𝑧 = 7.

Одно уравнение первой степени с тремя неизвестными имеет бесконечное множество решений. Действительно, взяв для 𝑖 и 𝑦 какие-либо произвольные числа, например, 𝑥 = 2, 𝑦 = 5 и подставив эти значения в уравнение 15𝑖 + 10𝑦 + 8𝑧 = 164, получим 15 · 2 + 10 · 5 + 8𝑧 = 164, или 80 + 8𝑧 = 164. Отсюда . Дав другие произвольные значения 𝑥 и 𝑦, получим другое значение для 𝑧 и т.д.

2. Система двух уравнений с тремя неизвестными. Систему двух уравнений первой степени с тремя неизвестными в общем виде записывают так:

Вообще говоря, система двух уравнений с тремя неизвестными имеет бесчисленное множество решений. Рассмотрим, например, систему

Выберем произвольное значение неизвестного 𝑥. Пусть .

Подставив это значение в уравнения нашей системы, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Решив эту систему, найдем . Значит, данная система имеет решение .

Взяв для 𝑥 другое значение, получим новую систему с двумя неизвестными, из которой найдем 𝑦 и 𝑧 и т.д.

Однако можно привести пример системы, не имеющей ни одного решения, например

Какие бы значения ни имели 𝑥, 𝑦, 𝑧, выражение 𝑥 - 𝑦 + 2𝑧 не может одновременно быть равным 5 и 7.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ