Ł Старые понятные учебники советских времен по физике, математике. Акупунктура, похудение

ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

12. Действия над действительными числами

1. Обозначения. Если α данное действительное число, то его десятичные приближенные значения по недостатку с точностью до 1, 0,1, 0,01 и т.д. до будем обозначать соответственно символами , а приближенные значения по избытку - символами . Пусть, например, α = 3,1471...

Тогда

2. Сложение. Суммой двух положительных действительных чисел называется действительное число, большее суммы любых приближенных значений слагаемых по недостатку, но меньшее суммы любых приближенных значений слагаемых по избытку.

Пример. Положим α = 3,3121... и β = 2,5483..., складываем приближенные значения по недостатку:

Складываем приближенные значения по избытку:

Так последовательно определяют десятичные знаки суммы

α + β = 5,860....

Примечание. Если какое-нибудь слагаемое рациональное и выражается конечной десятичной дробью или даже является целым числом, его тоже можно записать в виде бесконечной десятичной дроби, приписав в качестве десятичных знаков бесконечное число нулей, например:

2,3 = 2,3000...; 7 = 7,000...

Тогда сумму рационального и иррационального чисел можно также определяв изложенным выше способом.

Аналогично можно определить и сумму двух отрицательных действительных чисел, и отрицательного с положительным.

Вообще, сложение двух действительных чисел всегда возможно и однозначно.

3. Умножение. Произведением двух положительных действительных чисел α и β называется действительное число, большее произведения любых приближенных значений сомножителей по недостатку, но меньшее произведения любых приближенных значений сомножителей по избытку.

Пример. Положим α = 1,7320...; β = 1,4142..., тогда получим

Так последовательно определяют десятичные знаки произведения

αβ = 2,449...

Умножение отрицательных действительных чисел выполняют согласно с правилами, данными для рациональных чисел: произведение двух отрицательных чисел считается положительным, а отрицательного и положительного - отрицательным.

Действия вычитание, деление и возведение в степень действительных чисел определяются так же, как и для рациональных чисел.

Законы арифметических действий в множестве всех действительных чисел остаются справедливы, как и для множества рациональных чисел.

13. Иррациональные выражения

1. Корень 𝑚-й степени. Раньше было введено понятие квадратного корня, или, как его еще называют, корня второй степени. Но в математике рассматриваются корни не только второй, но и третьей, четвертой, пятой и вообще 𝑚-й степени.

Пусть 𝑚 - произвольное натуральное число больше 1, а 𝑎 - любое вещественное число. Корнем 𝑚-й степени из 𝑎 называется такое число, 𝑚-я степень которого равна 𝑎.

Примеры. Корень 3-й степени из 64 равен 4, так как 4³ = 64; корень 5-й степени из -32 равен -2, так как (-2)⁵ = -32; корень 4-й степени из 81 имеет (в множестве действительных чисел) два значения: 3 и -3, так как 3⁴ = 81 и (-3)⁴ = 81.

Корень 𝑚-й степени из числа 𝑎 обозначают символом . Однако в случае корня четной степени, например 2-й, 4-й и т.д., этим символом обозначают только неотрицательное значение корня, например . Их называют арифметическими значениями корней или короче арифметическими корнями.

Следовательно, только при отрицательном 𝑎 и нечетном 𝑚 имеет отрицательное значение. При положительном 𝑎 число всегда положительное. Если же 𝑎 < 0, а 𝑚 четное, то (в множестве действительных чисел) не существует.

Примечание. Знак радикала впервые ввели немецкие алгебраисты в XV в. В 1525 г. математик Христоф Рудольф фон Яуэр издал первое сочинение по алгебре на немецком языке. Знак корня он применял в форме Горизонтальную черту над подрадикальным выражением ввел французский геометр Рене Декарт (1637 г.), а показатель корня над радикалом - голландский математик Альбер Жирар (1629 г.).

2. Иррациональные выражения. Раньше мы рассматривали рациональные алгебраические выражения, содержащие только действия сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень с натуральным показателем. Дальше будут рассматриваться и такие выражения, которые, кроме этих пяти действий, содержат также и действие извлечения корня 𝑚-й степени. Такие алгебраические выражения называются иррациональными.

Примеры иррациональных выражений:

Иррациональные выражения вида называют также радикалами.

3. Тождественные преобразования иррациональных выражений. Определение тождественных иррациональных выражений и тождественного преобразования остаются такими же, как и для рациональных выражений.

Дальше рассмотрим важнейшие тождественные преобразования иррациональных выражений.

4. Основное свойство радикала. Величина радикала не изменится, если показатель корня и показатель подкоренного выражения умножим на одно и то же число, т.е.

Из этого свойства получаем следствия:

1) Радикалы разных степеней можно привести к одинаковым показателям.

Выполняют это так: находят общее кратное (лучше всего наименьшее) показателей всех радикалов и умножают показатель каждого из них на соответствующий дополнительный множитель, возвышая вместе с тем каждое подкоренное выражение в надлежащую степень.

Примеры. Привести к общему показателю радикалы:

Решение.

а) Наименьшее общее кратное показателей радикалов 6; дополнительные множители будут: для первого радикала 3, для второго 2. Тогда:

б) Наименьшее кратное показателей радикалов 30; дополнительные множители соответственно будут: 15, 6, 10. Тогда

в) Наименьшее кратное показателей радикалов 4𝑛 дополнительные множители соответственно будут 𝑛, 2 и 4. Тогда

2) Если подкоренное выражение есть степень, показатель которой имеет общий множитель с показателем радикала, то на этот множитель можно разделить оба показателя, т.е.

Примечание. Эта теорема требует дополнительного условия: должен существовать, так как без этого теорема может быть неверной. Например, вместо нельзя писать , так как последний корень в области действительных чисел не существует., Всегда верно следующее равенство:

В частности,

Примеры.

3) Если подкоренное выражение есть произведение нескольких степеней, показатели которых имеют один и тот же общий множитель с показателем радикала, то на этот множитель можно разделить все показатели.

Пример 1. Сократить показатели корней и подкоренных выражений:

Решения.

Пример 2. Сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения при заданных условиях:

при 𝑖 < 1; при 𝑥 > 3.

Решение. Воспользуемся формулой

Тогда получим

5. Основные теоремы о радикалах. Корень из произведения нескольких чисел равен произведению корней той же степени из каждого числа, если корень из каждого числа существует, т.е.

Чтобы извлечь корень из дроби, надо извлечь его из числителя и знаменателя, если эти корни существуют, и первый результат разделить на второй, т.е.

Примечания. Оговорки о существовании корней в предыдущих теоремах необходимы, так как при четных 𝑛 и отрицательных 𝑎 и 𝑏 корни и существуют, а и не существуют.

В этих случаях приведенные выше равенства неверны. Однако всегда верны равенства:

Чтобы извлечь корень из степени, показатель которой делится на показатель корня, нужно разделить показатель степени на показатель корня, т.е.

Примечание. При 𝑎 отрицательном, 𝑛 четном и 𝑚 нечетном приведенное выше равенство неверно. Однако всегда справедливо равенство

Пользуясь этими теоремами, можно извлекать корни из различных алгебраических выражений.

Примеры. Извлечь корни (И здесь, и в следующих примерах на преобразования радикалов с четными показателями, где не даются дополнительные условия, следует под буквами понимать положительные числа):

Решения.

6) Вынесение множителей за знак радикала. Если подкоренное выражение разлагается на такие множители, что из некоторых можно извлечь точный корень, то такие множители, по извлечении из них корня, могут быть написаны перед знаком корня (т.е. могут быть вынесены за знак корня).

Это выполняется по формуле

Примеры.

Примечание. При отрицательном 𝑎 и четном 𝑛 равенство неверно, но при любых значениях 𝑎, 𝑏 и 𝑛

Примеры. Вынести множители за знак радикала, учитывая допустимые значения букв или ограничения на них:

Решения.

7. Подведение множителей под знак корня. Для подведения под знак корня множителей, стоящих перед ним, достаточно возвысить такие множители в степень, показатель которой равен показателю корня, а затем написать эти степени под знаком корня. Это выполняется по формуле

Примеры. (В примерах а) - г) все множители перед радикалами считаются положительными)

д) Внести множители под знак радикала при заданных значениях букв:

Решение.

е) Не извлекая корни, определить, которое из чисел больше:

Решение.

, так как , то .

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ