Ł Старые понятные учебники советских времен по физике, математике. Акупунктура, похудение

ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П."СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА", 1965

1. Свойства сложения.

а) Переместительный закон сложения. Сумма не изменяется от перемены мест слагаемых. Переместительный закон в общем виде записывается равенством:

𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, где 𝑎 - первое слагаемое, 𝑏 - второе слагаемое.

Примеры:

3 + 5 = 5 + 3;

4 + 0 = 0 + 4.

б) Сочетательный закон сложения. Сумма не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой. В общем виде это свойство для трех слагаемых записывается так:

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐).

Пример. 35 + 15 + 20 = 35 + (15 + 20).

Переместительный и сочетательный законы называют также соответственно коммутативным и ассоциативным законами.

в) Прибавление суммы к числу и числа к сумме. Чтобы прибавить к какому-нибудь числу сумму нескольких чисел (или наоборот), достаточно прибавить к этому числу одно слагаемое, к полученной сумме прибавить второе слагаемое и т.д.

Примеры.

584 + (12 + 23 + 34) = 584 + 69 = 653, или

584 + 12 = 596; 596 + 23 = 619; 619 + 34 = 653.

(345 + 424 + 576) + 55 = 1345 + 55 = 1400, или

345 + 55 = 400; 400 + (424 + 576) = 1400.

2. Свойства вычитания.

а) Вычитание суммы из числа. Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа одно слагаемое, из полученной разности - второе слагаемое и т.д.

Обозначим уменьшаемое буквой 𝑎, отдельные слагаемые вычитаемой суммы буквами бис, тогда свойство можно записать так:

𝑎 - (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 - 𝑏 - 𝑐.

Пример. 25 - (13 + 5) = 25 - 5 - 13 = 20 - 13 = 7.

б) Вычитание числа из суммы. Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть это число из какого-нибудь одного слагаемого (предполагается, что слагаемое больше вычитаемого) и полученную разность прибавить к сумме остальных слагаемых. Это свойство с помощью букв записывается так:

(𝑎 + 𝑏) - 𝑐 = (𝑎 - 𝑐) + 𝑏 = 𝑎 + (𝑏 - 𝑐).

Примеры.

(36 + 27) - 16 = (36 - 16) + 27 = 47,

(36 + 27) - 17 = 36 + (27 - 17) = 46.

в) Прибавление разности. Чтобы прибавить разность к числу, достаточно прибавить к нему уменьшаемое и из полученной суммы вычесть вычитаемое. Это свойство с помощью букв записывается так:

𝑎 + (𝑏 - 𝑐) = 𝑎 + 𝑏 - 𝑐.

Пример. 50 + (36 - 16) = 50 + 20 = 70, или 50 + 36 = 86, 86 - 16 = 70.

г) Вычитание разности. Чтобы вычесть разность из числа, достаточно вычесть из него уменьшаемое (если это возможно) и к полученной разности прибавить вычитаемое.

Это свойство в общем виде записывается так:

𝑎 - (𝑏 - 𝑐) = 𝑎 - 𝑏 + 𝑐.

Пример. 65 - (35 - 18) = (65 - 35) + 18 = 48.

3. Свойства умножения

а) Переместительный закон умножения. Произведение не изменяется от перемены мест сомножителей.

Если обозначим первый сомножитель буквой 𝑎, а второй - буквой 𝑏, то переместительный закон можно записать в виде такого равенства:

𝑎𝑏 = 𝑏𝑎.

Пример. 5 · 6 = 6 · 5.

б) Сочетательный закон умножения. Произведение не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих сомножителей заменить их произведением.

В общем виде этот закон можно записать так:

𝑎𝑏𝑐 = 𝑎 (𝑏𝑐).

Пример. 12 · 8 · 4 = (12 · 8) · 4 = 12 · (8 · 4) = 384.

в) Распределительный закон умножения (относительно суммы). Произведение суммы нескольких чисел на какое-нибудь число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число. В общем виде для случая трех слагаемых этот закон можно записать так:

(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 𝑑 = 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 + 𝑐𝑒.

Пример. (30 + 45 + 120) · 12 = 30 · 12 + 45 · 12 + 120 · 12 = 360 + 540 + 1440 = 2340.

Переместительный, сочетательный и распределительный законы называют также соответственно коммутативным, ассоциативным и дистрибутивным.

г) Умножение произведения на число и числа на произведение. Чтобы умножить произведение нескольких чисел на какое-нибудь число (или наоборот), достаточно один из сомножителей произведения умножить на это число, оставив другие сомножители без изменения.

Примеры.

(35 · 12) · 4 = (35 · 4) · 12 = 140 · 12 = 1680,

20 · (7 · 18 · 5) = (20 · 5) · 7 · 18 = 100 · 7 · 18 = 12600.

д) Умножение разности на число. Чтобы умножить разность на число, достаточно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое и затем из первого произведения вычесть второе.

В общем виде это свойство записывается так:

(𝑎 - 𝑏) 𝑐 = 𝑎𝑐 - 𝑏𝑐.

Пример. (35 - 15) · 4 = 35 · 4 - 15 · 4 = 140 - 60 = 80.

Примечание. Это свойство иногда называют также распределительным законом умножения относительно разности.

4. Свойства деления.

а) Деление суммы на число. Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое отдельно (если это возможно) и полученные частные сложить. В общем виде это записывается так:

(𝑎 + 𝑏) : 𝑐 = 𝑎 : 𝑐 + 𝑏 : 𝑐.

Пример. (8 + 12) : 4 = 8 : 4 + 12 : 4 = 2 + 3 = 5.

б) Деление разности на число. Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, достаточно (если это возможно) разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно, а потом из первого частного вычесть второе. При помощи букв это свойство можно записать так:

(𝑎 - 𝑏) : 𝑐 = 𝑎 : 𝑐 - 𝑏 : 𝑐.

Пример. (18 - 6) : 3 = 18 : 3 - 6 : 3 = 6 -2 = 4.

Однако в примере (17 - 7) : 5 надо сперва найти разность 17 - 7.

в) Деление числа на произведение. Чтобы разделить число на произведение, достаточно разделить это число на один сомножитель, полученное частное разделить на второй сомножитель, вновь полученное частное разделить на третий сомножитель и т.д.

Пример. 960 разделить на произведение 4 · 6 · 8 можно так: 960 : 4 = 240; 240 : 6 = 40; 40 : 8 = 5.

г) Деление произведения на число. Частное от деления произведения двух сомножителей на число равно произведению одного из сомножителей на частное от деления другого сомножителя на это число (если такое деление выполнимо).

В общем виде

(𝑎𝑏) : 𝑐 = (𝑎 : 𝑐) 𝑏.

Это свойство остается справедливым и в случае произведения нескольких сомножителей; с помощью букв оно записывается так:

(𝑎𝑏𝑐) : 𝑑 = (𝑎 : 𝑑) 𝑏𝑐.

Пример. Разделить произведение 24 · 18 · 10 (равное 4320) на 8 можно так:

24 : 8 = 3; 3 · (18 · 10) = 3 · 180 = 540.

Однако в примере (6 · 8) : 16 надо сперва вычислить произведение 6 · 8.

д) Умножение числа на частное. Чтобы умножить число на частное, достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель.

При помощи букв это свойство можно записать:

𝑎 (𝑏 : 𝑐) = (𝑎𝑏) : 𝑐.

Пример. 6 · (200 : 5) можно решить так:

6 · 200 = 1200; 1200 : 5 = 240.

е) Деление числа на частное. Чтобы разделить число на частное, достаточно (если это возможно) разделить данное число на делимое и полученное частное умножить на делитель.

В общем виде

𝑎 : (𝑏 : 𝑐) = (𝑎 : 𝑏) 𝑐

Пример. 360 : (180 : 6) можно решить так:

360: 180 = 2; 2 · 6 = 12.

Но пример 30 : (60 : 10) так решить нельзя, так как число 30 на 60 не делится.

ж) Деление частного на число. Чтобы разделить частное на число, достаточно умножить делитель на это число и на полученное произведение разделить делимое. Можно также разделить делимое на данное число, а полученное частное разделить на делитель.

В общем виде

(𝑎 : 𝑏) : 𝑐 = 𝑎 : (𝑏𝑐) или (𝑎 : 𝑏) : 𝑐 = (𝑎 : 𝑐) : 𝑏.

Пример. (1200 : 15) : 40 можно вычислять тремя способами:

а) (1200 : 15) : 40 = 80 : 40 = 2;

б) (1200 : 15) : 40 = 1200 : (15 · 40) = 1200 : 600 = 2;

в) (1200 : 15) : 40 = (1200 : 40) : 15 = 30 : 15 = 2.

5. Зависимость между данными числами и результатами действий над ними.

Сложение. Если известна сумма двух слагаемых, а одно слагаемое неизвестно, то, чтобы найти его, достаточно из суммы вычесть известное слагаемое, т.е., если

𝑎 + 𝑏 = 𝑐, то 𝑎 = 𝑐 - 𝑏 и 𝑏 = 𝑐 - 𝑎.

Пример. 𝑖 + 30 = 42; 𝑥 = 42 - 30; 𝑥 = 12.

Вычитание. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, достаточно к вычитаемому прибавить разность, т.е., если 𝑎 - 𝑏 = 𝑐, то 𝑎 = 𝑏 + 𝑐.

Пример, 𝑥 - 8 = 5; 𝑖 = 8 + 5; 𝑖 = 13.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, достаточно из уменьшаемого вычесть разность, т.е., если 𝑎 - 𝑏 = 𝑐, то 𝑏 = 𝑎 - 𝑐.

Пример. 45 - 𝑥 = 15; 𝑥 = 45 - 15; 𝑥 = 30.

Умножение. Чтобы найти неизвестный сомножитель, достаточно разделить произведение на известный сомножитель (или на произведение известных сомножителей): если 𝑎𝑏 = 𝑐, то 𝑎 = 𝑐 : 𝑏, 𝑏 = 𝑐 : 𝑎.

Примеры:

а) 25𝑖 = 200; 𝑖 = 200 : 25; 𝑥 = 8.

б) 3 · 5𝑥 · 2 = 210; 𝑥 = 210 : (3 · 5 · 2); 𝑥 = 7.

Деление. Чтобы найти неизвестное делимое, достаточно делитель умножить на частное, т.е., если 𝑎 : 𝑏 = 𝑐, то 𝑎 = 𝑏𝑐.

Пример. 𝑥 : 25 = 3; 𝑖 = 25 · 3; 𝑥 = 75.

Чтобы найти неизвестный делитель, достаточно делимое разделить на частное, т.е., если 𝑎 : 𝑏 = 𝑐, то 𝑏 = 𝑎 : 𝑐.

Пример. 400: 𝑖 = 16; 𝑖 = 400 : 16; 𝑖 = 25.

Чтобы найти делимое при делении с остатком, достаточно делитель умножить на частное и прибавить остаток.

В общем виде, если при делении 𝑎 на 𝑏 получили частное 𝑞 и остаток 𝑟, то 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟.

Пример.

Если 30 : 4 = 7 (ост. 2), то 30 = 4 · 7 + 2.

𝑖 : 5 = 4 (ост. 3), то 𝑖 = 5 · 4 + 3 = 23.

Чтобы найти делитель при делении с остатком, достаточно из делимого вычесть остаток и разность разделить на частное.

С помощью букв можно записать так:

𝑏 = (𝑎 - 𝑟) : 𝑞.

Пример. 40 : 𝑥 = 6 (ост. 4), 𝑖 = (40 - 4): 6 = 6.

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ